Согласно учению Платона, математические концепции и математические истины существуют в их собственном, вполне реальном мире, в котором отсутствует течение времени и который не имеет физического местонахождения. Мир Платона — это идеальный мир совершенных форм, отличный от физического мира, но являющийся основой для его понимания. Он, кроме того, никак не связан с нашими несовершенными мысленными построениями, однако человеческий разум способен получить в некотором смысле непосредственный доступ в это платоново царство благодаря способности «осознавать» математические формы и рассуждать о них. Нашему «платоническому» восприятию, как вскоре выяснится, может иногда поспособствовать вычисление, однако в общем это восприятие вычислением не ограничено. Согласно такому платоническому подходу, именно способность «осознавать» математические концепции дает разуму мощь, далеко превосходящую все, чего можно добиться от устройства, работа которого основывается исключительно на вычислении.

Три мира и три загадки.

Попробуем свести все вышесказанное вместе. Мы пытаемся найти ответ на главный вопрос: как можно соотнести феномен сознания с нашим научным мировоззрением? Надо признать, я мало что могу сказать о сознании вообще. Поэтому я сосредоточился на одном частном ментальном качестве: способности к сознательному пониманию, в частности, к математическому пониманию. Только на примере этого ментального качества я смог достаточно убедительно показать, что возникновение способности к пониманию в результате какой бы то ни было чисто вычислительной активности решительно невозможно, вычислением нельзя даже адекватно моделировать такую способность — особо следует отметить, что ничто в моих рассуждениях не указывает и на то, что математическое понимание в чем бы то ни было принципиально отличается от прочих видов понимания. Отсюда вывод: какая бы активность мозга ни отвечала за сознание (по крайней мере, в этом конкретном его проявлении), она должна основываться на физических процессах, описать которые численное моделирование неспособно.

Далее мы попытались найти область в науке для соответствующего физического процесса, действительно способного вывести нас за пределы чистой вычислительности. Для того чтобы охватить встающие перед нами при этом фундаментальные проблемы, я воспользуюсь в дальнейшем метафорой трех различных миров и трех «великих загадок», связывающих эти миры вместе.

Наиболее близок нам мир наших сознательных восприятий — знание об этом мире мы получаем самым непосредственным образом и о нем же мы знаем меньше всего в смысле точного научного описания. В этом мире есть счастье, боль и цвет. В нем хранятся наши самые ранние детские воспоминания и ждет своего часа страх смерти. В нем — любовь, понимание, знание различных фактов, а также невежество и мстительность. Этот мир содержит образы столов и стульев, здесь запахи, звуки и всевозможные ощущения смешиваются с нашими мыслями и решимостью действовать.

Известны нам и два других мира — не так непосредственно, как мир восприятий, но зато об этих мирах мы знаем довольно много всего. Один из них мы называем физическим миром. В нем находятся настоящие столы и стулья, телевизоры и автомобили, люди, человеческие мозги и импульсы нейронов. В этом мире есть Солнце, Луна и звезды. В нем же — облака, ураганы, скалы, цветы и бабочки, а на более глубоком уровне — молекулы и атомы, электроны и фотоны, время и пространство. Еще там есть цитоскелеты, димеры тубулина и сверхпроводники. Не совсем ясно, почему мир восприятий должен иметь что-то общее с физическим миром, однако, судя по всему, так оно и есть.

Что касается второго мира из упомянутых двух, то само его существование многими ставится под сомнение. Речь идет о платоновском мире математических форм. Здесь обитают натуральные числа 0, 1, 2, 3, ... и алгебра комплексных чисел. Здесь мы найдем теорему Лагранжа о том, что любое натуральное число есть сумма четырех квадратов, и самую знаменитую из теорем евклидовой геометрии — теорему Пифагора (о квадратах сторон прямоугольного треугольника). Где-то здесь находится правило a х b = b х a для любых натуральных чисел и тот факт, что означенное правило не работает в случае «чисел» некоторых других типов. Этот же платоновский мир содержит геометрии, отличные от евклидовой, геометрии, в которых теорема Пифагора неверна. Здесь есть бесконечность и невычислимость, рекурсивные и нерекурсивные ординалы. Здесь — незавершаемое действие машины Тьюринга и машина с оракулом, а также многие классы математических задач, неразрешимые вычислительными методами, такие как задача о замощении плоскости плитками полиомино. В этом мире мы встретим электромагнитные уравнения Максвелла и гравитационные — Эйнштейна, равно как и бесчисленные удовлетворяющие им теоретические пространства-времена, как реалистичные физически, так и совершенно невероятные. Именно здесь пребывают математические модели столов и стульев, которыми можно воспользоваться в «виртуальной реальности», а также модели черных дыр и ураганов.

Имеем ли мы право утверждать, что платоновский мир действительно является «миром» — миром, который «существует» в том же смысле, в каком существуют прочие два мира? Читателю, возможно, покажется, что это вовсе не мир, а просто какой-то пыльный склад для абстрактных концепций, которые понапридумывали математики. Однако существование мира математических идей опирается на фундаментальный, вневременной и универсальный характер этих самых идей и на тот факт, что описываемые ими законы никоим образом не зависят от тех, кто их открыл. Этот «склад» (если это и впрямь склад) построен не нами. Натуральные числа были в этом мире задолго до того, как на Земле появились первые человеческие существа — да и все остальные существа, если уж на то пошло, — и останутся после того, как вся жизнь во Вселенной исчезнет. То, что любое натуральное число есть сумма четырех квадратов, было истиной всегда, а вовсе не стало ею вдруг после того, как Лагранж призвал из небытия соответствующую теорему. Натуральные числа, настолько большие, что оказываются не по зубам любому компьютеру, какой вы можете вообразить, все равно являются суммами четырех квадратов, пусть даже мы никогда и не узнаем, квад ратов каких именно чисел. Всегда будет истинным утверждение, что общей вычислительной процедуры для установления факта незавершаемости действия машины Тьюринга не существует, и оно всегда было истинным, задолго до того, как Тьюрингу пришло в голову его определение вычислимости.

Тем не менее, многие возражают, утверждая, что абсолютный характер математической истины никоим образом не является аргументом в пользу реальности «существования» математических концепций и математических истин. ( Время от времени я слышу, что математический платонизм якобы устарел. Разумеется, мне известно, что сам Платон умер что-то около 2340 лет назад, однако едва ли это можно считать достаточной причиной! Более серьезную причину могут составить трудности, с которыми порой сталкиваются философы, пытаясь обосновать целиком и полностью абстрактный мир, способный оказывать реальное воздействие на мир физический. Эта фундаментальная проблема, собственно, является частью одной из тех загадок, к которым мы очень скоро перейдем. ) На деле же идея реальности математических концепций вполне естественна для математиков, чего нельзя сказать о тех, кто никогда не испытывал радости исследования чудес и тайн того мира. Впрочем, на данном этапе от читателя не требуется соглашаться с тем, что математические концепции действительно образуют «мир», реальность которого сравнима с реальностью физического и ментального миров. Различия во взглядах на природу математических концепций для нас пока существенной роли не играют. Можете, если хотите, рассматривать «платоновский мир математических форм» как риторическую фигуру, введенную для удобства последующих рассуждений. Когда мы доберемся до трех загадок, связывающих эти три «мира», причина именно такого выбора слов, возможно, станет несколько яснее.

Что же это за загадки? Для начала взгляните на рис. 8.1. Первая загадка: почему столь точные и фундаментальные математические законы играют такую важную роль в поведении физического мира? Кажется, что сам мир физической реальности каким-то таинственным образом возникает из платоновского мира математики. Этот процесс проиллюстрирован направленной вниз стрелкой на рисунке справа — от платоновского мира к физическому.

Вторая загадка: как физический мир порождает восприятие объектов в сознании? Каким таким таинственным образом сложно организованные материальные объекты производят из самих себя объекты ментальные? Этот процесс представлен на рис. 8.1 стрелкой внизу, направленной от физического к ментальному миру.

И наконец, последняя загадка: как мысль «творит» из той или иной ментальной модели математическую концепцию? Эти по виду нечеткие, ненадежные и часто вовсе неподходящие ментальные инструменты, доставшиеся нам, похоже, в комплекте с ментальным миром, каким-то таинственным образом оказываются, тем не менее, способны (по крайней мере, когда они «в ударе») производить из пустоты абстрактные математические формы, открывая нам тем самым доступ, через посредство понимания, в платоновское царство чистой математики. Этот процесс символизирует стрелка слева на рисунке, направленная вверх, от ментального миру к платоновскому. 

Рис. 8.1. Кажется, что каждый из трех миров — платоновский математический, физический и ментальный — неким таинственным образом «произрастает» из какой-то малой части своего предшественника (или, по крайней мере, очень тесно с этим предшественником связан).

Сам Платон большое внимание уделял первой из этих стрелок (а также, на свой лад, третьей), и неустанно подчеркивал различие между совершенной математической формой и ее несовершенной «тенью» в физическом мире. Так, сумма углов математического треугольника (евклидова треугольника, обязательно уточним мы сегодня) составляет ровно два прямых угла, тогда как углы физического треугольника, сделанного, скажем, из дерева со всей точностью, на которую мы способны, образуют в сумме угол, величина которого очень близка к требуемой, но все же не равна ей. Эти свои соображения Платон изложил в виде притчи. Он вообразил нескольких граждан, заточенных в пещере и прикованных таким образом, чтобы они не могли видеть находившихся за их спинами совершенных форм, отбрасывающих в свете костра тени на стену пещеры, доступную взорам прикованных граждан. Таким образом, люди непосредственно видели лишь несовершенные тени тех форм, к тому же искаженные неровным светом костра. Совершенные формы символизировали собой математические идеи, а тени на стене — мир «физической реальности».

Со времен Платона основополагающая роль математики в объяснении воспринимаемой структуры и действительного поведения физического мира возросла чрезвычайно. В 1960 году видный физик Юджин Вигнер прочел знаменитую лекцию под названием «Непостижимая эффективность математики в физических науках». В ней он отметил поразительную точность и хитроумную применимость замысловатых математических конструкций, которые физики регулярно и во все больших количествах обнаруживают в своих описаниях реальности.

Для меня наиболее впечатляющим примером эффективности математики является общая теория относительности Эйнштейна. Нередко можно услышать, что физики всего лишь подмечают время от времени, где именно на этот раз математические концепции оказались хорошо применимыми к физическому поведению. Утверждают, соответственно, что физики, как правило, направляют свои интересы в сторону тех областей, где имеющиеся математические описания работают; таким образом, нет ничего удивительного в том, что математические и физические описания так хорошо друг с другом уживаются. Мне, впрочем, представляется, что авторы подобных заявлений, что называется, попадают пальцем в небо. Они просто никак не объясняют то фундаментальное единство, которое, как показывает, в частности, теория Эйнштейна, существует между математикой и устройством мироздания. Когда Эйнштейн разрабатывал свою теорию, никакой действительной необходимости в ней, с экспериментальной точки зрения, не было. Ньютоновская теория тяготения держалась уже почти 250 лет и достигла за это время потрясающей точности (погрешность порядка одной десятимиллионной — одно это является достаточно убедительным доказательством глубинной математической основы физической реальности). Да, в движении планеты Меркурий была замечена аномалия, однако это, разумеется, не послужило поводом для отказа от схемы Ньютона. И все же Эйнштейн счел, что можно добиться лучшего результата, если изменить саму основу теории тяготения. В первые годы после того, как Эйнштейн обнародовал теорию относительности, в поддержку ее можно было привести лишь несколько наблюдаемых эффектов, а преимущество над теорией Ньютона в точности было крайне незначительным. Теперь же, по прошествии 80 лет, общая точность теории относительности возросла в миллионы раз. Эйнштейн не просто «подметил» повторяющиеся особенности поведения физических объектов. Он обнаружил фундаментальную математическую субструктуру, реально существующую и до тех пор скрытую в глубинах мироздания. Более того, он искал вовсе не какие-то физические феномены, которые могли бы подойти под красивую теорию. Он искал и нашел точное математическое соотношение, заложенное в самой структуре пространства и времени, — наиболее фундаментальное из всех физических понятий. В основе всех других успешных теорий элементарных физических процессов всегда лежит некая математическая структура, которая оказывается не только чрезвычайно точной, но и весьма хитроумной математически. (А чтобы читатель не подумал, что «ниспровержение» прежних физических представлений — например, теории Ньютона — каким-то образом эти представления обесценивает и лишает смысла, спешу уверить, что это ни в коем случае не так. Если прежние идеи были достаточно обоснованны — что можно сказать, например, о теориях Галилея или того же Ньютона, — то они и дальше остаются в добром здравии и находят в новой схеме свое место.) Кроме того, и сама математика, в своем стремлении как можно точнее описать поведение природных объектов, находит для себя немало полезного, порой неочевидного и неожиданного. И квантовая теория (тесные взаимоотношения которой с математикой — через посредство комплексных чисел — очевидны, надеюсь, даже из того краткого обзора предмета, что попал на эти страницы), и общая теория относительности, и электромагнитные уравнения Максвелла — все они дали весьма ощутимый толчок развитию математики. Причем это верно не только для относительно новых теорий, что я перечислил. Не менее верно это и для теорий, куда более отдаленных от нас во времени, — например, для ньютоновской механики (давшей нам математический анализ) или древнегреческого анализа структуры пространства (которому мы обязаны самим понятием геометрии). Необычайная точность математики в описании физического поведения (например, точность квантовой электродинамики, достигающая одиннадцатого или даже двенадцатого знака после запятой) не раз удивляла ученых. Однако на этом загадки не заканчиваются. Концепции, скрывающиеся в физических процессах, обладают чрезвычайной глубиной, тонкостью и математической плодотворностью. Об этом люди зачастую и не подозревают — если, конечно, они не математики, вплотную занимающиеся соответствующей проблемой.

Следует особо подчеркнуть, что эта математическая плодотворность, дающая математикам ценный стимул в их работе, не является всего лишь следствием некоей математической моды (хотя и мода, надо признать, играет во всем этом свою роль). Идеи, которые были разработаны с единственной целью углубить наше понимание устройства физического мира, очень часто дают неожиданные и удивительно эффективные средства для решения других математических задач, которые уже какое-то время интенсивно и безуспешно пытаются решить другие люди совсем для других целей. В качестве одного из наиболее ярких недавних примеров можно привести найденное оксфордским математиком Саймоном Доналдсоном применение теорий типа Янга — Миллса (разработанных физиками в процессе отыскания математического объяснения взаимодействий между субатомными частицами) к исследованию четырехмерных многообразий, в результате чего были объяснены некоторые совершенно неожиданные их свойства, над которыми ученые бились в течение нескольких предыдущих лет. Что самое интересное, все эти математические средства (несмотря на то, что мы и не подозревали об их существовании, пока нас не посетило соответствующее озарение) вечно пребывают в безвременьи платоновского мира — неизменные истины, ожидающие своего открытия и открывающиеся лишь тем, кто обладает достаточным мастерством, проницательностью и упорством.

Надеюсь, мне удалось убедить читателя в существовании тесной и вполне реальной (хотя и все еще крайне загадочной) взаимосвязи между платоновским математическим миром и миром физических объектов. Надеюсь также, что само наличие такой взаимосвязи поможет скептикам отнестись к платоновскому миру именно как к «миру» несколько более серьезно, нежели они полагали для себя возможным прежде. Может быть, кто-то даже шагнет еще дальше, на что я рамках данного обсуждения не осмелился. Возможно, реальностью в платоновском смысле следует наделить и прочие абстрактные концепции, а не только математические. Сам Платон настаивал, что идеальные понятия «добра» и «красоты» реальны ничуть не меньше, чем математические идеи. Лично у меня такая возможность никакого неприятия не вызывает, однако в моих размышлениях здесь она пока не играет сколько-нибудь серьезной роли. Я не уделил вопросам этики, морали и эстетики надлежащего внимания, однако это не повод для того, чтобы напрочь отказывать им в той же «реальности», какая досталась концепциям, которые рассмотрения удостоились. Безусловно, есть множество важных и разнообразных вопросов, которые следует изучить в этой связи, однако цели, что я ставил перед собой при написании этой конкретной книги, несколько уже.

Не уделил я большого внимания и собственно загадке (стрелка 1 на рис. 8.1) той непостижимой и абсолютной роли, что платоновский математический мир играет в физическом мире, — даже того, что получили другие две, о которых мы имеем еще меньшее представление. В первой части (книги) я обращался, по большей части, к вопросам, поднимаемым третьей стрелкой: загадкой нашего восприятия математического мира, т. е. выяснением природы процесса, посредством которого сознательное размышление способно «порождать», словно из ничего, те самые платоновские математические формы. (Как будто совершенные математические формы суть лишь тени наших несовершенных мыслей.) Такой взгляд на платоновский мир — как на продукт нашего сознания — весьма серьезно противоречит воззрениям самого Платона. Для Платона мир совершенных форм первичен, поскольку лежит вне времени и не зависит от человека. В истинно платоновском представлении мою третью стрелку на рис. 8.1 следует, очевидно, направить не вверх, а вниз: от мира совершенных форм к миру нашего сознания. Если же мы рассматриваем математический мир как продукт наших способов мышления, то это будет уже не платоновское представление, которого я здесь придерживаюсь, а самое настоящее кантианство.

Возможно, кому-то захочется аналогичным образом оспорить и направления остальных моих стрелок. Например, епископ Беркли, скорее всего, предпочел бы развернуть вторую стрелку, направить ее от ментального мира к миру физическому, поскольку, согласно его представлениям, «физическая реальность» есть лишь тень нашего ментального существования. Есть и такие (так называемые «номиналисты»), кто выступил бы за разворот первой стрелки, так как, по их мнению, мир математики является не более чем отражением аспектов мира физической реальности. Я сам, являюсь весьма решительным противником разворота первых двух стрелок; возможно, не менее очевидно и то, что я чувствую себя несколько неловко, будучи вынужден направить третью стрелку на рис. 8.1 в направлении, явно кантианском! Для меня мир совершенных форм первичен (как и для Платона) — существование этого мира является чуть ли не логической необходимостью, — оба же прочих мира суть его тени.

По причине такого расхождения во мнениях относительно того, какой из миров на рис. 8.1 следует считать первичным, а какие вторичными, я порекомендовал бы взглянуть на стрелки несколько иначе. Существенным качеством стрелок на рис. 8.1 является не столько их направление, сколько тот факт, что каждая представляет такое соответствие, при котором лишь малая область одного мира «порождает» весь следующий мир целиком. Что касается первой стрелки: мне много раз указывали на то, что огромная часть мира математики (если судить по результатам деятельности самих математиков) если и имеет какое-то отношение к действительному физическому поведению, то весьма незначительное. Получите: в основе структуры нашей физической Вселенной может лежать лишь крохотная часть платоновского мира. Аналогичным образом, вторая стрелка символизирует тот факт, что существование нашего ментального мира есть продукт очень малой части мира физического — той части, где имеются в точности те условия, что необходимы для возникновения сознания, как, например, в мозге человека. Точно так же третья стрелка захватывает весьма небольшую область мира ментальной активности, а именно ту, что «заведует» абсолютными и вневременными вопросами — в особенности, математической истиной. Наша с вами ментальная жизнь проходит, по большей части, совсем в других местах.

Есть нечто парадоксальное в этих соответствиях: каждый мир, похоже, «возникает» всего лишь из крохотной части того мира, что ему предшествует. На рис. 8.1 я постарался этот парадокс подчеркнуть. Впрочем, я рассматриваю стрелки не как утверждения о каких-то действительных «возникновениях», а просто как символы имеющихся соответствий, поскольку не хочу умножать предрассудки, и без того окружающие вопрос о том, какой из миров следует считать первичным, вторичным или третичным, если там вообще уместно такое «старшинство».

И все же полностью избежать предрассудков (или просто предвзятости) на рис. 8.1 мне не удалось. Если верить рисунку, то следует предположить, что целый мир отражается частью (причем малой) своего предшественника. Возможно, мои предрассудки ошибочны. Возможно, какие-то аспекты поведения физического мира невозможно описать в точных математических терминах; возможно, какая-то ментальная жизнь не связана неразрывно с физическими структурами (такими, как мозг); возможно также, что существуют математические истины, которые принципиально недоступны человеческому пониманию или интуиции. Для того, чтобы учесть все эти альтернативные возможности, рисунок 8.1 следует перерисовать таким образом, чтобы какие-то из миров (или все) охватывались стрелкой из предыдущего мира не полностью.

...

Если общая теория относительности Эйнштейна показала, насколько могут измениться, приняв таинственный и математический вид, наши самые, казалось бы, незыблемые понятия о природе пространства и времени, то с концепцией материи аналогичную шутку сыграла квантовая механика. Глубокое потрясение испытали не только представления о материи, но и наше видение реальности вообще. Как может быть так, что одна лишь контр-фактуальная возможность какого-либо события — т. е. что-то, чего в действительности не произошло, — оказывает вполне ощутимое воздействие на то, что в этой самой действительности происходит? При всей непостижимости проявлений квантовой механики в ней есть что-то такое, что по крайней мере кажется куда более близким (чем все, что может предложить классическая физика) к другой непостижимости, — той, за которой скрывается объяснение феномена ментальности в мире физической реальности*. Я нисколько не сомневаюсь в том, что с появлением более глубоких теорий сознание наконец займет свое место в физическом мире и перестанет выглядеть на его фоне той «белой вороной», какой оно выглядит сегодня. ...

Из книги: Роджер Пенроуз "Тени Разума" (в поисках науки о сознании)** 

 

О необычном (прямом?) отображении платоновского мира в физическом мире.

Эта фотография была сделана с самолета неподалеку от Стоухенджа (Англия) на пшеничном поле в 1996 году. Размер изображения 278х154 метра, по словам очевидцев оно возникло за 25 минут.

 

* - Метапредставления сознания как часть физического мира, см. Нулевые измерения — загадка квантовой теории

** - См. также Математические открытия или изобретения? Связь математики с физикой.